ZADANIA Z KONKURSÓW MATEMATYCZNYCH

Zadania z konkursów:

1. Zuzia skonstruowała sześciokąt foremny korzystając z informacji, że promień okręgu opisanego na tym wielokącie ma 9 cm. Następnie zamalowała jego część. Oblicz pole zamalowanej części tego sześciokąta foremnego.

2. Bartek schował swoją starą kolekcję samochodzików do kartonowego pudełka w kształcie prostopadłościanu. Pudełko jest stare, więc chłopiec postanowił ozdobić je od zewnątrz materiałem. Pary równoległych ścian okleił materiałem tego samego koloru, a podstawę pudełka szarym płótnem. Na oklejenie par ścian zużył odpowiednio 126 cm² i 112 cm² kolorowego materiału. Do oklejenia jednej podstawy tego pudełka potrzebował 72 cm² płótna. Jaką pojemność ma pudełko?

3. Grupa przyjaciół wybrała się na winobranie. Gdyby w winobraniu brała udział cała grupa, to praca zajęłaby im łącznie 15 dni. Niestety, trzech uczestników rozchorowało się i nie wzięło udziału w winobraniu. W tej sytuacji zaplanowana praca trwała 24 dni. Ile osób przyjechało na winobranie?

4. Panowie Ekolog i Samochodzik mieszkają w dwóch różnych miejscowościach, których odległość w linii prostej jest równa 17 km. Pewnego dnia umówili się na spotkanie w miasteczku Kowalewo. Pan Ekolog mieszka w odległości 8 km od miasteczka. Wyjechał na rowerze o godzinie 8:00 i poruszając się z prędkością 6 km/h jechał w kierunku północnym. Pan Samochodzik wyruszył na spotkanie samochodem. Jechał na zachód z prędkością 45 km/h. Przybył na spotkanie 10 minut później po przyjacielu. O której godzinie rozpoczął podróż Pan Samochodzik?

5. Pani Ewa wzięła z banku kredyt w kwocie 35000 zł, oprocentowany w wysokości 16%. Ustaliła z bankiem, że spłaci go w 20-tu równych ratach. Jednak, po dokonaniu pierwszych pięciu wpłat, pani Ewa postanowiła, że pozostałą kwotę spłaci w trzech równych ratach. Jakiej wysokości będzie każda z trzech ostatnich wpłat?

6. Wyznacz cyfrę jedności w wyniku działania: 124²³ + 66⁴⁸ + 5¹⁰⁵. Opisz i uzasadnij swój tok rozumowania. 

7. Podstawy trapezu równoramiennego wynoszą 7 cm i 14 cm. Przekątna trapezu zawiera się w dwusiecznej kąta przy dolnej podstawie. Oblicz obwód trapezu. 

8. W trapezie równoramiennym ABCD przekątne przecinają się w punkcie S. Punkt S dzieli każdą z przekątnych w stosunku 4:9. Wypisz wszystkie pary trójkątów przystających a następnie uzasadnij, posługując się cechami przystawania trójkątów, że są przystające.

9. Świątynie greckie budowane były na planie prostokąta. Na ich krótszej ścianie znajdowało się n kolumn, a na dłuższej 2n+1. Oblicz, ile kolumn było w jednej świątyni.

10. Mianownik pewnego ułamka jest o 3 większy od licznika. Jeśli licznik zwiększymy o 10, a mianownik powiększymy o 1 to otrzymany ułamek będzie odwrotnością ułamka poszukiwanego. Jaki to ułamek?

11. W trapezie równoramiennym ABCD krótsza podstawa CD ma długość 4 cm, zaś długość ramienia AD wynosi 10 cm. Wysokość DE trapezu przecina przekątną AC w punkcie M takim, że |MC|:|AM| = 2:3. Oblicz długość podstawy AB oraz długość przekątnej trapezu.

12. W prostokącie ABCD bok AD jest równoległy do boku BC. Na boku AB wybrano dowolny punkt E. Wykaż, że:
|AE|² + |EC|² = |EB|² + |DE|²

13. Dwaj bracia: Bartek i Krzysiek wyszli w jednocześnie z domu do tej samej szkoły. Kroku Bartka jest o 20% krótszy od kroku Krzyśka, ale za to Bartek robi w tym czasie o 20% kroków więcej. Który z braci dotrze szybciej do szkoły.

14. Jeśli jeden bok prostokąta zwiększymy o p%, zaś drugi zmniejszymy o p% to pole prostokąta nie zmieni się o więcej niż 2%. Wyznacz p jeśli wiadomo, że p jest liczbą pierwszą.

15. W równoległoboku ABCD, na jego bokach po zewnętrznej stronie, tworzymy kwadraty. Udowodnij, że środki tych kwadratów również tworzą kwadrat.

16. Marysia rozcięła kwadratową kartkę papieru na dwa jednakowe prostokąty. Każdy z nich złożyła tak, że otrzymała powierzchnie boczne dwóch różnych graniastosłupów prawidłowych czworokątnych. Suma objętości tych graniastosłupów jest równa 375cm3. Ile wynosi pole kartki, którą Marysia miała na początku?

17. Kasia i Wojtek poszli do lasu na grzyby. Wojtek znalazł o 36 grzybów więcej niż Kasia, toteż dał jej trochę swoich grzybów, aby mieli po równo. Ile grzybów Kasia dostała od Wojtka?

Rozwiąż zadanie metodą algebraiczną.